Operasi Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Hasil penjumlahan ataupun hasil pengurangan dari dua vektor atau lebih disebut resultan vektor. Untuk mencari resultan beberapa vektor, yang bekerja pada suatu bidang, dapat digunakan tiga metode, antara lain metode jajar genjang, metode segitiga dan metode poligon.

 

Metode Jajar Genjang

 

1. Lukislah vektor F₁ dan F₂ dengan titik tangkap berimpit di titik O

 

 

2. Buatlah jajar genjang dengan sisi-sisi vektor F₁ dan F₂

 

 

3. Diagonal jajar genjang merupakan resultan atau hasil penggabungan vektor F₁ dan vektor F₂

 

 

4. Sudut α menunjukkan arah resultan kedua vektor terhadap vektor F₁

 

Metode Segitiga

 

1. Lukislah vektor F₁ dengan titik tangkap di titik O

 

 

2. Lukislah vektor F₂ dengan titik tangkap di ujung vektor F₁

 

 

3. Sudut α menunjukkan arah resultan kedua vektor terhadap arah vektor F₁

 

Metode Poligon

 

Jika ada tiga vektor atau lebih, anda tidak mungkin menjumlahkan vektor-vektor tersebut dengan metode jajar genjang atau metode segitiga. Oleh karena itu harus digunakan metode segibanyak (poligon). Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut

 

 

Pada gambar di samping terdapat tiga buah vektor yang akan dicari resultannya. Adapun resultan ketiga vektor tersebut seperti tampak pada gambar berikut

 

 

Berikut adalah tahap-tahap dalam menentukan resultan vektor mengguanakan metode poligon
1. Lukislah vektor F₁ dengan titik tangkap di O
2. Lukislah vektor F₂ dengan titik tangkap di ujung vektor F₁
3. Lukislah vektor F₃ dengan titik tangkap di ujung vektor F₂
4. Hubungkan titik tangkap di O dengan ujung vektor F₃. Lukis garis penghubung antara titik tangkap O dan ujung vektor F₃. Garis penghubung ini merupakan resultan vektor F₁, F₂, dan F₃

 

Menggambar Pengurangan Vektor

 

Selisih antara dua buah vektor F₁ dan F₂ (ditulis R = F₁-F₂) sama saja dengan menentukan jumlah antara vektor F₁ dan vektor -F₂ atau R = F₁ + (-F₂). Oleh karena itu, tiga metode dalam penjumlahan vektor yang telah dipelajari sebelumnya juga berlaku untuk selisih vektor. Untuk melukiskan R = F₁-F₂, mula=mula lukislah vektor F₁, kemudian lukis juga vektor -F₂ yang didapat dengan caramembalikkan arah F₂ sehinggga -F₂ berlawanan arah dengan vektor F_2.

 

 

Berikut adalah simulasi terkait dengan penjumlahan dan pengurangan vektor. Untuk melihat simulasi, tekanlah tombol yang sudah tersedia.

Resultan Vektor

Untuk menentukan besar resultan vektor, dapat digunakan metode grafis dan metode analisis seperti berikut.

Metode Grafis

Menentikan resultan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajar genjang, metode segitiga, dan metode poligon. Dengan menggunakan perbandingan skala dan besar sudut yang tepat, pengukuran panjang resultan vektor dapat dilakukan dengan menggunakan mistar, sedangkan besar sudut dapat dihitung menggunakan busur derjat.

Aturan menentukan besar dan arah resultan vektor dengan metode grafis.

1. Arah acuan vektor ditentukan berdasarkan arah sumbu x positif. Sudut vektor bernilai positif diukur berlawanan arah putaran jarum jam dan bernilai negatif diukur searah putaran jarum jam

2. Panjang vektor dilukiskan menggunakan skala panjang yang sesuai. Misalnya untuk vektor gaya yang besarnya 10 N dilukiskan dengan panjang 1 cm, sehingga untuk vektor gaya 20 N harus dilukis dengan panjang 2 cm. Adapun sudut arah vektor dapat diukur dengan busur derajat.

3. Vektor resultan dapat dilukiskan dengan metode jajar genjang, metode segitiga, atau metode poligon.

4. Panjang resultan vektor diukur dengan mistar dan arah vektor resultan terhadap sumbu x positif

Dalam menghitung jumlah dua vektor mengguanakan metode grafis, terdapat beberapa kelemahan, yaitu timbulnya kesalahan sistematis. Untuk menghindari kesalahan tersebut, digunakan metode analisis, yaitu dengan menggunakan rumus cosinus. Secara matematis, untuk mendapatkan resultan dua buah vektor secara akurat, dapat digunakan persamaan sebagai berikut. Dengan menggunakan rumus cosinus, misalnya dalam segitiga OAC akan diperoleh 

Oleh karena OC = R, OA = F1, dan AC = F2,  maka persamaan tersebut akan menjadi 

Menentukan Arah Resultan Vektor 

Untuk menentukan arah resultan vektor, terhadap salah satu vektor penyusunnya, dapat digunakan persamaan sisnus. Perhatikanlah gambar

Perkalian Vektor Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik dua buah vektor merupakan perkalian skalar dari dua vektor tersebut. Hal ini disebabkan karena hasil kali titik dari dua buah vektor menghasilkan bilangan skalar . Hasil perkalian titik dari dua buah vektor A dan B misalnya kita sebut C dapat dinyatakan dengan suatu persamaan berikut

Berikut adalah simulasi perkalian titik dua buah vektor

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang dari dua buah vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, sehingga perkalian silang dua buah vektor juga disebut dengan perkalian vektor. Hasil perkalian silang vektor A dan vektor B (dibaca A cross B) menghasilkan vektor C. Vektor C yang dihasilkan ini selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B

C = A X B

Adapun arah vektor C akan mengikuti aturan putaran skrup, seperti tampak pada gambar berikut

Berikut adalah simulasi perkalian silang dua buah vektor